Całki pierwsze
Rozważmy równanie
gdzie \( \hskip 0.3pc f:\Omega\to \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) jest zadaną funkcją, a \( \hskip 0.3pc \Omega\subset \mathbb R\times \mathbb R^n\hskip 0.3pc \) zbiorem otwartym. Oczywiście równanie to możemy zapisać we współrzędnych w postaci układu równań
tzn. funkcja \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania układu równań ( 2 ).
Widać natychmiast, że prawdziwa jest następująca uwaga:
Podobnie, jeśli funkcje \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots ,g_m\hskip 0.3pc \) są całkami pierwszymi uładu ( 2 ) a \( \hskip 0.3pc h:R^m\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1,\hskip 0.3pc \) to funkcja \( \hskip 0.3pc h\circ (g_1,\ldots ,g_m )\hskip 0.3pc \) jest również całką pierwszą układu ( 2 ).
wynosi \( \hskip 0.3pc m,\hskip 0.3pc \) tzn. w każdym punkcie \( \hskip 0.3pc (t,x_1,\ldots ,x_n)\in \Omega\hskip 0.3pc \) wiersze tej macierzy są wektorami liniowo niezależnymi.
W szczególności, jeśli \( \hskip 0.3pc m =n\hskip 0.3pc \) to wyznacznik powyższej macierzy jest różny od zera.
Przypomnijmy, że punkt \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x})\in \Omega\hskip 0.3pc \) nazywamy punktem równowagi układu ( 2 ), jeśli prawe strony tego układu zerują się w tym punkcie, czyli
ZAŁOŻENIA:
Zakładamy, że prawe strony \( \hskip 0.3pc f_1, \ldots ,f_n\hskip 0.3pc \) układu równań ( 2 ) są funkcjami klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \) w obszarze \( \hskip 0.3pc \Omega \subset \mathbb R\times \mathbb R^n.\hskip 0.3pc \) Załóżmy ponadto, że w pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x}) =\big(t_0, \stackrel{o}{x}_1, \ldots , \stackrel{o}{x}_n\big) \in \Omega\hskip 0.3pc \) nie będącym punktem równowagi układu ( 2 ), istnieje \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \) całek pierwszych funkcyjnie niezależnych \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots , g_{n}\hskip 0.3pc \) tego układu. Niechi \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) będzie dowolną całką pierwszą układu ( 2 ) w tym otoczeniu.TEZA:
Wtedyw pewnym otoczeniu punktu \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x}),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1\hskip 0.3pc \)
DOWÓD:
Dla \( \hskip 0.3pc (t_0,x)\in \Omega\hskip 0.3pc \) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) układu ( 2 ) spełniające warunek \( \hskip 0.3pc \varphi (t_0)=x\hskip 0.3pc \) oznaczmy symbolem \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot\,;t_0,x)\hskip 0.3pc \). Oczywiście \( \hskip 0.3pc \varphi (t_0;t_0,x)=x.\hskip 0.3pc \) Rozpisując ostatną równość we współrzędnych otrzymamy
Zauważmy, że
Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc (t_0, \stackrel{o}{x}) \in \Omega\hskip 0.3pc \) nie jest punktem równowagi układu ( 2 ) .
Niech \( \hskip 0.3pc I\times U\hskip 0.3pc \) będzie otoczeniem punktu \( \hskip 0.3pc (t_0,\stackrel{o}{x})\hskip 0.3pc \) tak dobranym, że dla każdego \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U\hskip 0.3pc \) rozwiązanie \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot\,;t,x)\hskip 0.3pc \) jest określone w punkcie \( \hskip 0.3pc t_0.\hskip 0.3pc \) Ponadto, ponieważ funkcje w powyższym wyznaczniku są ciągłe, możemy otoczenie to dobrać tak, aby
dla \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U.\hskip 0.3pc \) Onacza to, że funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi_1 (t_0;\,\cdot,\,\cdot), \ldots ,\,\varphi_n(t_0;\,\cdot,\,\cdot)\hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależne w zbiorze \( \hskip 0.3pc I\times U.\hskip 0.3pc \) Przy przyjętych założeniach o funkcjach \( \hskip 0.3pc f_1, \ldots ,f_n\hskip 0.3pc \), przez każdy punkt \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U\hskip 0.3pc \)przechodzi dokładnie jedno rozwiązanie \( \hskip 0.3pc \varphi (\,\cdot\,;t,x)\hskip 0.3pc \) układu ( 2 ).
Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc y=\varphi (s;t,x) ,\hskip 0.3pc \) to \( \hskip 0.3pc x=\varphi (t;s,y),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc s\in I.\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc (t,x)\in I\times U\hskip 0.3pc \) połóżmy \( \hskip 0.3pc \widetilde x= \varphi (t_0;t,x).\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z powyższymi obserwacjami wartość \( \hskip 0.3pc \widetilde x\hskip 0.3pc \) jest stała na każdej całce (tzn. jeśli \( \hskip 0.3pc \Gamma \hskip 0.3pc \) jest wykresem całki układu ( 2 ) to \( \hskip 0.3pc \varphi (t_0;t,x)={\rm const}\hskip 0.3pc \) dla dowolnego \( \hskip 0.3pc (t,x)\in \Gamma.\hskip 0.3pc \))
Zatem dla dowolnego \( \hskip 0.3pc s\in I\hskip 0.3pc \) mamy
gdzie \( \hskip 0.3pc y=\varphi (s;t,x).\hskip 0.3pc \)
Wynika stąd, że funkcje \( \hskip 0.3pc \varphi_1(t_0;\,\cdot,\,\cdot), \ldots ,\,\varphi_n(t_0;\,\cdot,\,\cdot)\hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu ( 2 ) na zbiorze \( \hskip 0.3pc I\times U.\hskip 0.3pc \) Połóżmy
Oczywiście \( \hskip 0.3pc g_1, \ldots ,g_n\hskip 0.3pc \) są funkcyjnie niezależnymi całkami pierwszymi układu ( 2 ) na zbiorze \( \hskip 0.3pc I\times U.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc g :I\times U\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie dowolną całką pierwszą układu ( 2 ). Ponieważ całka pierwsza jest stała wzdłuż dowolnego rozwiązania \( \hskip 0.3pc x=x(s),\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc s\in I,\hskip 0.3pc \) powtarzając rozumowanie dowodu warunku koniecznego twierdzenia otrzymamy dla \( \hskip 0.3pc s\in I\hskip 0.3pc \) układ równań
Ponieważ dla dowolnego \( \hskip 0.3pc s\in I\hskip 0.3pc \) powyższy układ posiada rozwiązanie niezerowe wzgledem \( \hskip 0.3pc 1,f_1, \ldots ,f_n\hskip 0.3pc \), zatem wyznacznik współczynników musi być równy zeru, czyli
Z ostatniej równości wynika, że pochodne funkcji \( \hskip 0.3pc g \hskip 0.3pc \) są liniowo zależne od pochodnych funkcji \( \hskip 0.3pc g _1, \ldots , g _n.\hskip 0.3pc \)
W konsekwencji
Rozważmy teraz układ autonomiczny
Załóżmy, że \( \hskip 0.3pc f_n(x_1,\ldots ,x_n)\neq 0.\hskip 0.3pc \) Dla \( \hskip 0.3pc i=1, \ldots ,n-1\hskip 0.3pc \) połóżmy
Zatem układ (4) możemy zapisać w formie:
Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, w otoczeniu dowolnego punktu nie będącego punktem równowagi, układ ten posiada \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) funkcyjnie niezależnych całek pierwszych
Ponadto, jeśli \( \hskip 0.3pc g\hskip 0.3pc \) jest całką pierwszą w tym otoczeniu, to \( \hskip 0.3pc g=F\circ (g_1,\ldots ,g_{n-1}),\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc F\hskip 0.3pc \) jest funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \)
Zgodnie z twierdzeniem 1, aby znaleźć wszystkie całki pierwsze tego układu, wystarczy znać \( \hskip 0.3pc n-1\hskip 0.3pc \) całek pierwszych funkcyjnie niezależnych.